Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] - 3 \cdot [\begin{array}{c} 8 & 7 & 11 \\ 3 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica $- 3$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 8 & - 3 \cdot 7 & - 3 \cdot 11 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.2.1

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 3 \cdot 7 & - 3 \cdot 11 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1.2.2

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 3 \cdot 11 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 3$ por $11$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1.2.4

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1.2.6

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 15 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1.2.8

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 15 & - 3 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1.2.9

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 15 & - 3 & - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 34 - 24 & 23 - 21 & 49 - 33 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Simplify each element.

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Paso 3.1

Resta $24$ de $34$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 23 - 21 & 49 - 33 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 3.2

Resta $21$ de $23$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 49 - 33 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Resta $33$ de $49$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 3.4

Resta $9$ de $15$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 3.5

Resta $18$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 3.6

Resta $9$ de $24$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 3.7

Resta $15$ de $19$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 4 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 3.8

Resta $3$ de $20$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 4 & 17 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 3.9

Resta $24$ de $25$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 4 & 17 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 4

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 10 + 2 & 2 + 1 & 16 + 3 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Paso 5

Simplify each element.

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Paso 5.1

Suma $10$ y $2$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 2 + 1 & 16 + 3 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Paso 5.2

Suma $2$ y $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 16 + 3 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Paso 5.3

Suma $16$ y $3$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Paso 5.4

Suma $6$ y $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Paso 5.5

Resta $1$ de $- 15$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Paso 5.6

Suma $15$ y $2$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Paso 5.7

Suma $4$ y $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 5 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Paso 5.8

Suma $17$ y $2$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 5 & 19 & 1 + 1 \end{array}]$

Paso 5.9

Suma $1$ y $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 5 & 19 & 2 \end{array}]$

Paso 6

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 6.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 6.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 6.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} |$

Paso 6.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} |$

Paso 6.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Paso 6.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Paso 6.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 6.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 6.9

Add the terms together.

$12 | \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 7

Evalúa $| \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} |$ .

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Paso 7.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 (- 16 \cdot 2 - 19 \cdot 17) - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 7.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $- 16$ por $2$ .

$12 (- 32 - 19 \cdot 17) - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 19$ por $17$ .

$12 (- 32 - 323) - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 7.2.2

Resta $323$ de $- 32$ .

$12 \cdot - 355 - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 8

Evalúa $| \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} |$ .

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Paso 8.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 \cdot - 355 - 3 (7 \cdot 2 - 5 \cdot 17) + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 8.2

Simplifica el determinante.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$12 \cdot - 355 - 3 (14 - 5 \cdot 17) + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $17$ .

$12 \cdot - 355 - 3 (14 - 85) + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 8.2.2

Resta $85$ de $14$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Paso 9

Evalúa $| \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$ .

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Paso 9.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 (7 \cdot 19 - 5 \cdot - 16)$

Paso 9.2

Simplifica el determinante.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Multiplica $7$ por $19$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 (133 - 5 \cdot - 16)$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $- 16$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 (133 + 80)$

Paso 9.2.2

Suma $133$ y $80$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 \cdot 213$

Paso 10

Simplifica el determinante.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Multiplica $12$ por $- 355$ .

$- 4260 - 3 \cdot - 71 + 19 \cdot 213$

Paso 10.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 71$ .

$- 4260 + 213 + 19 \cdot 213$

Paso 10.1.3

Multiplica $19$ por $213$ .

$- 4260 + 213 + 4047$

Paso 10.2

Suma $- 4260$ y $213$ .

$- 4047 + 4047$

Paso 10.3

Suma $- 4047$ y $4047$ .

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